Question

20．如图，抛物线C：x²=2py（p＞0）的准线为y=-1，取过焦点F且平行于x轴的直线与抛物线交于不同的两点P₁，P₂，过P₁，P₂作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且∠P₁QP₂=90°．
（1）求抛物线C和圆Q的方程；
2）过点F作直线l与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，求|MN|•|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过抛物线C：x²=2py（p＞0）的准线为y=-1，求出p，得到抛物线方程，不妨设P₁在左侧，求出P₁的坐标，|P₁F|=2，设圆Q的方程为：x²+（y-b）²=r²（b＞1，r＞0），通过P₁Q⊥P₂Q，求出b与r，得到圆的方程．
（2）直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+1，求出圆心Q（0，3）到直线l的距离，推出|AB|，联立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}}\right.$
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由抛物线定义有：$|MN|={y_1}+{y_2}+2=4（{k^2}+1）$，求出|MN|•|AB|的表达式，利用二次函数的性质求解最值即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）因为抛物线C：x²=2py（p＞0）的准线为y=-1，
所以$-\frac{p}{2}=-1$，解得p=2，所以抛物线C的方程为x²=4y．   …（1分）
当y=1时，由x²=4y得：x=±2，不妨设P₁在左侧，则P₁（-2，1），|P₁F|=2，…（2分）
由题意设圆Q的方程为：x²+（y-b）²=r²（b＞1，r＞0），
由∠P₁QP₂=90°且|P₁Q|=|QP₂|知：P₁Q⊥P₂Q，
∴△P₁QP₂是等腰直角三角形且∠QP₁P₂=45°，
∴|QF|=|P₁F|=2，$|{P_1}Q|=\sqrt{|QF{|^2}+|{P_1}F{|^2}}=2\sqrt{2}$，则$b={3_{\;}}，r=2\sqrt{2}$，…（4分）
∴圆Q的方程为：x²+（y-3）²=8． …（5分）
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+1，
圆心Q（0，3）到直线l的距离为：$d=\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
∴$|AB|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=4\sqrt{2-\frac{1}{{1+{k^2}}}}$．              …（7分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}}\right.$得：y²-（4k²+2）y+1=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由抛物线定义有：$|MN|={y_1}+{y_2}+2=4（{k^2}+1）$，…（9分）
∴$|MN|•|AB|=16（{k^2}+1）•\sqrt{2-\frac{1}{{{k^2}+1}}}$，
设t=k²+1，则：t≥1且$|MN|•|AB|=16t•\sqrt{2-\frac{1}{t}}=16\sqrt{2{t^2}-t}=16\sqrt{2{{（t-\frac{1}{4}）}^2}-\frac{1}{8}}$，…（11分）
∴当t=1即k=0时，|MN|•|AB|的最小值为16．…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线方程的求法，圆的方程的求法，考查计算能力．