Question

10．在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=acost\\ y=2sint\end{array}\right.（t$为参数，a＞0）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-2\sqrt{2}$．
（1）设P是曲线C上的一个动点，当a=2$\sqrt{3}$时，求点P到直线l的距离的最大值；
（2）若曲线C上所有的点均在直线l的右下方，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将直线l极坐标方程转化成直角坐标，设P点坐标，利用点到直线的距离公式及辅助角公式，根据余弦函数的性质，即可求得点P到直线l的距离的最大值；
（2）由题意可知：?t∈R，acost-2sint+4＞0恒成立，利用辅助角公式，只需$\sqrt{{a}^{2}+4}$＜4，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）由$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-2\sqrt{2}$，得$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ）=-2$\sqrt{2}$，
化成直角坐标方程得$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y）=-2$\sqrt{2}$，
∴直线l的方程为x-y+4=0，依题意，设P（2$\sqrt{3}$cost，2sint），
则P到直线l的距离d=$\frac{丨2\sqrt{3}cost-2sint+4丨}{\sqrt{2}}$=$\frac{丨4cos（t+\frac{π}{6}）+4丨}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$cos（t+$\frac{π}{6}$），
当t+$\frac{π}{6}$=2kπ，即t=2kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z时，d_max=4$\sqrt{2}$，
故点P到直线l的距离的最大值为4$\sqrt{2}$．
（2）因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，
?t∈R，acost-2sint+4＞0恒成立，即$\sqrt{{a}^{2}+4}$cos （t+φ）+4＞0（其中tanφ=$\frac{2}{a}$）恒成立，
∴$\sqrt{{a}^{2}+4}$＜4，又a＞0，解得0＜a＜2$\sqrt{3}$，
故a取值范围（0，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，余弦函数的性质，考查不等式恒成立，考查计算能力，属于中档题．