Question

5．已知点A（a，b）与点B（0，3）在直线3x-4y+5=0的同侧，给出下列四个命题：
①若a＞1，则b＞2；
②$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞1；
③函数f（x）=sinx-3a+4b-4有无数个零点；
④当b＜0时，$\frac{b-1}{a}$的取值范围是（0，$\frac{3}{4}$）．
其中所有正确命题的序号是①②④．

Answer 1

分析 点A（a，b）和点B（0，3）在直线1：3x-4y+5=0的同侧，则（3a-4b+5）×（3×0-4×3+5）＞0，即3a-4b+5＜0，作出点A（a，b） 对应的平面区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合进行判断即可

解答 解：点A（a，b）和点B（0，3）在直线1：3x-4y+5=0的同侧，
则（3a-4b+5）×（3×0-4×3+5）＞0，即3a-4b+5＜0，点A（a，b）的区域如图所示．
对于①，若a＞1，由3a-4b+5＜0；可得b＞2，故正确；
对于②，∵原点到直线3a-4b+5=0的距离等于1，∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞1，故正确；
对于③，函数f（x）=sinx-3a+4b-4零点，就是y=sinx与y=3a-4b+4的交点，∵y=3a-4b+4＞-1，故错；
对于④，当b＜0时，$\frac{b-1}{a}$表示过点A（a，b）与点（0，1）的斜率，根据图象可得其取值范围是（0，$\frac{3}{4}$），故正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查的知识点是二元一次不等式与平面区域，考查转化思想与运算能力，属于基础题．