设数列{an}的前n项和为Sn.若$\frac{1}{2}≤\frac{{{a {n+1}}}}{a n}≤2$(n∈N*).则称{an}是“紧密数列 ,(1)若a1=1.${a 2}=\frac{3}{2}$.a3=x.a4=4.求x的取值范围,(2)若{an}为等差数列.首项a1.公差d.且0＜d≤a1.判断{an}是否为“紧密数列 ,(3)设数列{an}是公比为q的等比数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若$\frac{1}{2}≤\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}≤2$（n∈N^*），则称{a_n}是“紧密数列”；
（1）若a₁=1，${a_2}=\frac{3}{2}$，a₃=x，a₄=4，求x的取值范围；
（2）若{a_n}为等差数列，首项a₁，公差d，且0＜d≤a₁，判断{a_n}是否为“紧密数列”；
（3）设数列{a_n}是公比为q的等比数列，若数列{a_n}与{S_n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．

分析（1）由题意，$\frac{1}{2}≤\frac{x}{\frac{3}{2}}≤2$且$\frac{1}{2}≤\frac{4}{x}≤2$，即可求出x的取值范围；
（2）由题意，a_n=a₁+（n-1）d，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}+nd}{{a}_{1}+（n-1）d}$=1+$\frac{1}{\frac{{a}_{1}}{d}+n-1}$$＞1≥\frac{1}{2}$，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；
（3）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．

解答解：（1）由题意，$\frac{1}{2}≤\frac{x}{\frac{3}{2}}≤2$且$\frac{1}{2}≤\frac{4}{x}≤2$，∴2≤x≤3，
∴x的取值范围是[2，3]；
（2）由题意，a_n=a₁+（n-1）d，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}+nd}{{a}_{1}+（n-1）d}$=1+$\frac{1}{\frac{{a}_{1}}{d}+n-1}$$＞1≥\frac{1}{2}$，
$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$随着n的增大而减小，所以当n=1时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$取得最大值，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≤2，
∴{a_n}是“紧密数列”；
（3）由题意得，等比数列{a_n}的公比q
当q≠1时，所以a_n=a₁q^n-1，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=$\frac{1-{q}^{n+1}}{1-{q}^{n}}$，
因为数列{a_n}与{S_n}都是“紧密数列”，所以$\frac{1}{2}≤q≤2$，$\frac{1}{2}≤$$\frac{1-{q}^{n+1}}{1-{q}^{n}}$≤2，解得$\frac{1}{2}≤q≤1$，
当q=1时，a_n=a₁，S_n=na₁，则 $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1，$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=1+$\frac{1}{n}$∈（1，$\frac{3}{2}$]，符合题意，
∴q的取值范围是$[\frac{1}{2}，1]$．