Question

20．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≤cosx}\\{cosx，sinx＞cosx}\end{array}\right.$，下列四个命题
①f（x）是以π为周期的函数
②f（x）的图象关于直线x=$\frac{5π}{4}$+2kπ，（k∈Z）对称
③当且仅当x=π+kπ（k∈Z），f（x）取得最小值-1
④当且仅当2kπ＜x＜$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z）时，0＜f（x）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$
正确的是②④．

Answer 1

分析 由题意作出此分段函数的图象，由图象研究该函数的性质，依据这些性质判断四个命题的真假，此函数取自变量相同时函数值小的那一个，由此可顺利作出函数图象．

解答 解：由题意函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}sinx，sinx≤cosx\\ cosx，sinx＞cosx\end{array}\right.$，
画出f（x）在x∈[0，2π]上的图象．

由图象知，函数f（x）的最小正周期为2π，故①错误；
由图象知，函数图象关于直线x=$\frac{5π}{4}$+2kπ（k∈Z）对称，故②正确；
在x=π+2kπ（k∈Z）和x=$\frac{3π}{2}$+2kπ（k∈Z）时，该函数都取得最小值-1，故③错误，
在2kπ＜x＜$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④正确．
故正确的命题为：②④．
故答案为：②④

点评 本题考点是三角函数的最值，本题是函数图象的运用，由函数的图象研究函数的性质，并以由图象研究出的结论判断和函数有关的命题的真假．