Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为A，两个焦点为F₁、F₂，△AF₁F₂为正三角形且周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知圆O：x²+y²=R²，若直线l与椭圆C只有一个公共点M，且直线l与圆O相切于点N；求|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件列出$\left\{\begin{array}{l}a=2c\\ a+a+2c=6\\{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}\end{array}\right.$，求解可得椭圆的标准方程．
（Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为：y=kx+t，利用直线l与圆O相切，推出 t²=（1+k²）r²，联立直线与椭圆方程，利用相切关系推出t²=3+4k²，求出x_M坐标，通过ON⊥MN，推出|MN|²=7-r²-$\frac{12}{{r}^{2}}$$≤7-4\sqrt{3}$，得到结果．

解答 解：（Ⅰ）解：由题设得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2c}\\{a+a+2c=6}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，故C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为：y=kx+t，
由直线l与圆O相切，得r=$\frac{\left|t\right|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，t²=（1+k²）r²①…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\\ y=kx+t\end{array}\right.$，可得：（3+4k²）x²+8ktx+4t²-12=0，
因为直线l与椭圆C相切，所以△=（8kt）²-4（3+4k²）（4t²-12）=0，
得t²=3+4k² ②，…（7分）
所以x_M=$-\frac{4kt}{3+4{k}^{2}}$=$-\frac{4k}{t}$．…（8分）
由ON⊥MN，可得
|MN|²=|OM|²-|ON|²=x_M²+x_M²-r²=$\frac{1}{4}$x_M²+3-r²=$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+3-r²------------③…（10分）
由①②可得k²=$\frac{{r}^{2}-3}{4-{r}^{2}}$④，将④代入③得|MN|²=7-r²-$\frac{12}{{r}^{2}}$$≤7-4\sqrt{3}$，
…（11分）
当且仅当r²=2$\sqrt{3}$∈（3，4）．
所以|MN|$≤2-\sqrt{3}$ …（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．