Question

20．已知函数f（x）=ax³-2x²+1，若f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＜0，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （0，$\frac{\sqrt{6}}{9}$）
• C． （-∞，-$\frac{4\sqrt{6}}{9}$）
• D． （$\frac{4\sqrt{6}}{9}$，+∞）

Answer 1

分析 令f（x）=0，由参数分离可得a=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，令g（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，求出导数和单调区间，可得极大值，由图象可得a大于g（x）的极大值，即可符合条件．

解答 解：由题意可得f（x）=0，
即为ax³-2x²+1=0，
可得a=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
令g（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{3}{{x}^{4}}$=$\frac{3-2{x}^{2}}{{x}^{4}}$，
可得x＜-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，g（x）递减；
当-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜x＜0，0＜x＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，g（x）递增．
作出g（x）的图象，可得g（x）的极大值为g（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=$\frac{4\sqrt{6}}{9}$，
由题意 可得当a＞$\frac{4\sqrt{6}}{9}$时，f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＜0，
故选：D．

点评 本题考查函数的零点问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用数形结合思想方法，属于中档题．