Question

5．在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=$\sqrt{7}$，P，Q为BC边上的动点且BP=CQ，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的最大值为$\frac{19}{4}$．

Answer 1

分析 以B为原点，以BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设点P（x，0），由题意求得其它各点的坐标，计算$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=-x²+$\sqrt{7}$x+3，0≤x≤$\sqrt{7}$．再利用二次函数的性质求得它的最大值．

解答 解：△ABC中，AB=2，AC=3，BC=$\sqrt{7}$，P，Q为BC边上的动点且BP=CQ，
∴cosB=$\frac{4+7-9}{2•2•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，sinB=$\sqrt{{1-cos}^{2}B}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，以B为原点，以BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，
则可得B（0，0），C（$\sqrt{7}$，0），A（$\frac{\sqrt{7}}{7}$，$\frac{3\sqrt{21}}{7}$）．
设点P（x，0），∵$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{QC}$，∴x=$\sqrt{7}$-x_Q，求得x_Q=$\sqrt{7}$-x，即Q（$\sqrt{7}$-x，0），0≤x≤$\sqrt{7}$．
则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（x-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，-$\frac{3\sqrt{21}}{7}$）•（$\frac{6\sqrt{7}}{7}$-x，-$\frac{3\sqrt{21}}{7}$）=-x²+$\sqrt{7}$x+3，
故当x=$\frac{\sqrt{7}}{2}$时，即P、Q为线段BC的中点时，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$ 取得最大值为$\frac{19}{4}$，
故答案为：$\frac{19}{4}$．

点评 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，二次函数的性质，属于中档题．