Question

5．三棱锥P-ABC是半径为3的球内接正三棱锥，则P-ABC体积的最大值为（　　）

• A． 8$\sqrt{3}$
• B． 24
• C． 16$\sqrt{3}$
• D． 24$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，设出正三棱锥的高为PO₁=h，然后通过求解直角三角形把三棱锥的底面积用含有h的代数式表示，得到${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h=\frac{\sqrt{3}}{4}（6h-{h}^{2}）h$，再由基本不等式求得最值．

解答 解：如图，
P-ABC是球O的内接正三棱锥，设它的高为PO₁=h，
PO=AO=BO=CO=3，则O₁为正三角形ABC的中心，
球心O在PO₁上，
∴$A{O}_{1}=\frac{2}{3}AB•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{3}AB$，即AB=$\sqrt{3}$AO₁，
在Rt△AOO₁中，$A{O}_{1}=\sqrt{A{O}^{2}-O{{O}_{1}}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}-（h-3）^{2}}$=$\sqrt{6h-{h}^{2}}$．
∴AB=$\sqrt{3}A{O}_{1}=\sqrt{3}\sqrt{6h-{h}^{2}}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}A{B}^{2}sin60°=\frac{\sqrt{3}}{4}（6h-{h}^{2}）$，
${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h=\frac{\sqrt{3}}{4}（6h-{h}^{2}）h$=$\frac{\sqrt{3}}{8}（12-2h）h•h≤\frac{\sqrt{3}}{8}×[\frac{（12-2h）+h+h}{3}]^{3}=8\sqrt{3}$．
当且仅当12-2h=h，即h=4时等号成立．
∴半径为3的球的内接正三棱锥P-ABC体积的最大值为$8\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．