Question

4．已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（{a＞b＞0}）$，点F₁，F₂分别为其左右焦点，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于A，B两点，点M是直线l与椭圆C的一个公共点，设$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$．
（1）证明：λ=1-e²；
（2）若λ=$\frac{3}{4}$，△MF₁F₂的周长为6，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）判断直线与椭圆的位置关系，求出切点坐标，利用$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$．化简求解即可．
（2）利用（1）以及△MF₁F₂的周长为6，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程．

解答 解：（1）证明：椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（{a＞b＞0}）$，
直线l：y=ex+a，消去y并化简可得x²+2cx+c²=0，
可得x=-c，△=0，可知直线与椭圆相切，
切点坐标（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），A（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），B（0，a），
由$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$．可得：
λ=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-e²．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{1-{e}^{2}=\frac{3}{4}}\\{2a+2c=6}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，可得b²=3，
所以所求椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．