Question

已知函数f（x）=ae^x，g（x）=lna-ln（x+1）（其中a为常数，e为自然对数底），函数y=f（x）在A（0，a）处的切线与y=g（x）在B（0，lna）处的切线互相垂直．
（Ⅰ） 求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ） 求证：对任意n∈N^*，f（n）+g（n）＞2n；
（Ⅲ） 设y=g（x-1）的图象为C₁，h（x）=-x²+bx的图象为C₂，若C₁与C₂相交于P、Q，过PQ中点垂直于x轴的直线分别交C₁、C₂于M、N，问是否存在实数b，使得C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？说明你的理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ） 构造函数F（x）=f（x）+g（x）-2x，求函数的导数，利用导数即可证明对任意n∈N^*，f（n）+g（n）＞2n；
（Ⅲ） 根据导数的几何意义，求出对应切线斜率之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ） f′（x）=ae^x，f′（0）=a，g′（x）=-

1

x+1

，g′（0）=-1，…（2分）
由已知a•（-1）=-1，∴a=1，
∴f（x）=e^x（x∈R），g（x）=-ln（x+1），（x＞-1）．…（4分）
（Ⅱ） 证明：令F（x）=f（x）+g（x）-2x=e^x-ln（x+1）-2x，（x≥1），
则F′（x）=e^x-

1

x+1

-2≥F′（1）=e-

5

2

＞0，
∴F（x）在[1，+∞）上递增，…（6分）
n∈N*?[1，+∞），
∴F（n）≥F（1）＞0，
即f（n）+g（n）＞2n．…（8分）
（Ⅲ） 答：不存在．
设P（x₁，y₁），P（x₂，y₂），（0＜x₁＜x₂）则M、N的横坐标都是

x1+x2

2

，
且-lnx₁=-x₁²+ax₁，-lnx₂=-x₂²+ax₂，
f′（x-1）=-

1

x

，h′（x）=-2x+a，
C₁在M处的切线斜率为k_M=-

2

x1+x2

，C₂在N处的切线斜率为k_N=-（ x₁+x₂）+a，
令k_M=k_N，得-

2

x1+x2

=-（ x₁+x₂）+a，…（10分）
-

2(x2-x1)

x1+x2

=-(

x

2 2

-

x

2 1

)+a（x₂-x₁）=（-

x

2 2

+ax2）-（-

x

2 1

+ax1）=-lnx₂+lnx₁=-ln

x2

x1

，
∴ln

x2

x1

-

2(x2-x1)

x1+x2

=0，
令 

x2

x1

＞1，得lnt-

2(t-1)

t+1

=0，…①…（12分）
设p（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，（t＞1），
p′（t）=

1

t

-

4

(1+t)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴p（t）=在区间（1，+∞）递增，∴p（t）＞p（1）=0，与①矛盾，
∴不存在a，使得C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行．…（14分）

点评：本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数，综合考查导数的应用．