Question

已知f（x）的定义域为（0，+∞），满足f（x）＞0，f′（x）为其导函数，

f′(x)

f(x)

＜-1．
（Ⅰ）讨论函数F（x）=e^xf（x）的单调性；
（Ⅱ）设0＜x＜1，比较函数xf（x）与

1

x

f（

1

x

）的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,不等式比较大小

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导，利用导数即可得出函数的单调性；
（Ⅱ）由题意得即证当0＜x＜1时，有xf（x）＞

1

x

f（

1

x

），由（Ⅰ）可得e^xf（x）＞e

1

x

f（

1

x

），即f（x）＞e

1

x

-xf（

1

x

），证明e

1

x

-x＞

1

x2

 即证

1

x

-x+2lnx＞0，构造函数设函数g（x）=

1

x

-x+2lnx，利用导数可得g（x）＞g（1）=0，即有f（x）＞e

1

x

-xf（

1

x

）＞

1

x2

f（

1

x

），即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）因为F′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]．
由

f′(x)

f(x)

＜-1知f（x）+f′（x）＜0，
所以F′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]＜0，所以F（x）在（0，+∞）上单调递减．

（Ⅱ）当0＜x＜1时，有xf（x）＞

1

x

f（

1

x

），
证明如下：
当0＜x＜1时，x＜

1

x

，故由（Ⅰ）可得e^xf（x）＞e

1

x

f（

1

x

），即f（x）＞e

1

x

-xf（

1

x

），
下面证明e

1

x

-x＞

1

x2

 即证

1

x

-x+2lnx＞0，
设函数g（x）=

1

x

-x+2lnx，
当0＜x＜1时，有g′（x）=-

1

x2

-1+

2

x

=-

(x-1)2

x2

＜0，
所以g（x）在（0，1）上单调递减．
故g（x）＞g（1）=0，所以e

1

x

-x＞

1

x2

，于是f（x）＞e

1

x

-xf（

1

x

）＞

1

x2

f（

1

x

），
即xf（x）＞

1

x

f（

1

x

）．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，比较大小等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于中档题．