Question

已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，则f（0）=

 

，f（x）

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：1）根据对一切实数x，y∈R都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且题中已经给出了f（1）=0，要求的值是f（0），所以，令x=1，y=0即可求f（0）；
（2）在（1）中已经求出了f（0）的值，只需在给出的等式中取y=0即可求 f（x）的解析式．

解答： 解：∵函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立．且f（1），
∴令x=1，y=0，
代入上式得f（1）-f（0）=2，
∴f（0）=-2．
∵函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，
∴令y=0，代入上式得
f（x）-f（0）=x（x+1），
又由（1）知f（0）=-2，
∴f（x）=x（x+1）-2．
故答案为：-2；x（x+1）-2．

点评：本题考查抽象函数及其应用，解决抽象函数的问题一般应用赋值法．关键是结合已知条件和要求的结论对变量恰当赋值．