Question

已知F₁，F₂是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，，若椭圆的离心率等于．
（1）求直线AO的方程（O为坐标原点）；
（2）直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF₂的面积等于4，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆的离心率e=，即，可得，因此设椭圆方程为x²+2y²=a²．再设点A（x，y），因为向量、的数量积为0，得到AF₂、F₁F₂互相垂直，所以x=c，将A（c，y），代入椭圆方程，化简可得，得到A的坐标，从而得到直线AO的斜率为，最后根据直线AO过原点，得直线AO的方程为y=x；
（2）连接AF₁，BF₁，AF₂，BF₂，由椭圆的对称性可知：S_△ABF1=S_△ABF2=S_△AF1F2，可用△AF₁F₂的面积列式，解之得a²=16，c²=a²=8，所以b²=a²-c²=8，最终得到椭圆方程为．
解答：解：（1）∵，∴AF₂⊥F₁F₂，
又∵椭圆的离心率e==，
∴，可得，--------（3分）
设椭圆方程为x²+2y²=a²，设A（x，y），由AF₂⊥F₁F₂，得x=c
∴A（c，y），代入椭圆方程，化简可得（舍负）--------（5分）
∴A（，），可得直线AO的斜率--------（6分）
因为直线AO过原点，故直线AO的方程为y=x--------（7分）
（2）连接AF₁，BF₁，AF₂，BF₂，
由椭圆的对称性可知：S_△ABF1=S_△ABF2=S_△AF1F2，--------（9分）
∴S_△AF1F2=×2c×y_A=4，即ac=4--------（10分）
又∵
∴a²=4，解之得a²=16，c²=a²=8，
∴b²=a²-c²=8，故椭圆方程为--------（13分）
点评：本题给出一个特殊的椭圆，在已知其离心率的情况下求直线的方程和三角形的面积，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题．