题目内容

已知 F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，椭圆上存在一点P，使得S△F1PF2=
3
b2，则该椭圆的离心率的取值范围是
[
3
2
，1）
[
3
2
，1）
．
分析：设P（x0，y0），由于椭圆上存在一点P，S△F1PF2=
3
b2．可得：
3
b2=
1
2
|F1F2| |y0|=c|y0|，且|y0|≤b．再利用a2=b2+c2及e=
c
a
＜1即可得出．
解答：解：设P（x0，y0），
∵椭圆上存在一点P，S△F1PF2=
3
b2，
∴
3
b2=
1
2
|F1F2| |y0|=c|y0|，且|y0|≤b．
∴|y0|=
3
b2
c
≤b，即
3
b≤c，
∴3b2≤c2．
又b2=a2-c2，
∴3（a2-c2）≤c2，化为
c2
a2
≥
3
4
，解得
c
a
≥
3
2
．
又e＜1，
∴该椭圆的离心率的取值范围是[
3
2
，1)．
故答案为[
3
2
，1)．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、离心率计算公式，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且△PF1F2的周长为4+2
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线的l是圆O：x2+y2=
4
3
上动点P（x0，y0）（x0-y0≠0）处的切线，l与椭圆C交于不同的两点Q，R，证明：∠QOR的大小为定值．
（2013•浦东新区二模）（1）设椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1与双曲线C2：9x2-
9y2
8
=1有相同的焦点F1、F2，M是椭圆C1与双曲线C2的公共点，且△MF1F2的周长为6，求椭圆C1的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
（2）如图，已知“盾圆D”的方程为y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3＜x≤4)
．设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d1，M到直线l：x=3的距离为d2，求证：d1+d2为定值； 
（3）由抛物线弧E1：y2=4x（0≤x≤
2
3
）与第（1）小题椭圆弧E2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r1；并求
r1
r2
的取值范围．
如图，F1，F2为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=
3
2
，S△DEF2=1-
3
2
．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（
x0
a
，
y0
b
）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．
（2012•乐山二模）已知P是椭画
x2
25
+
y2
16
=1左准线上一点，F1、F2分别是其左、右焦点，PF2与椭圆交于点Q，且
PQ
=2
QF2
，则|
QF1
|的值为（　　）
（2013•崇明县二模）已知椭C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1，F2为顶点的三角形周长是4+2
3
，且∠BF1F2=
π
6
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点Q（1，
1
2
）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程．

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