题目内容

已知F1,F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点,若在椭圆上存在一点P,使∠F1PF2=120°,则椭圆离心率的范围是
[
3
2
,1
[
3
2
,1
分析:先根据椭圆定义得到|PF1|=a+ex1,|PF2|=a-ex1,再利用余弦定理得到余弦定理得cos120°=-
1
2
,求出x12,利用椭圆的范围列出不等式求出离心率的范围.
解答:解:设,P(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0),c>0,
则|PF1|=a+ex1,|PF2|=a-ex1
在△PF1F2中,由余弦定理得 cos120°=-
1
2
=
(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2
2(a+ex1)(a-ex1)

解得 x12=
4c2-3a2
e2

∵x12∈(0,a2],
∴0≤
4c2-3a2
e2
<a2
即4c2-3a2≥0.
∴e=
c
a
3
2
.且e<1
故椭圆离心率的取范围是[
3
2
,1
).
故答案为:[
3
2
,1
).
点评:本题主要考查了椭圆的应用.当P点在短轴的端点时∠F1PF2值最大,这个结论可以记住它.在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题.
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