题目内容

已知F1、F2是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2=120°,求椭圆离心率的取值范围.
分析:先根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a,再利用余弦定理化简整理得cos∠PF1F2=
4a2-4c2 
2|PF1| |PF2|
-1,进而根据均值不等式确定|PF1||PF2|的范围,进而确定cos∠PF1F2的最小值,求得a和b的关系,进而求得a和c的关系,确定椭圆离心率的取值范围.
解答: 解:设,P(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0),c>0,
则|PF1|=a+ex1,|PF2|=a-ex1
在△PF1F2中,由余弦定理得cos120°=-
1
2
=
(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2
2(a+ex1)(a-ex1)

解得x12=
4c2-3a2
e2

∵x12∈[0,a2],∴0≤
4c2-3a2
e2
a2
,即4c2-3a2≥0.且e2<1
e=
c
a
3
2

故椭圆离心率的取范围是e∈[
3
2
, 1)
点评:本题主要考查了椭圆的应用.当P点在短轴的端点时∠F1PF2值最大,这个结论可以记住它.在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题.
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