Question

已知关于x的方程x²+zx+4+3i=0有实数根，求复数z的模|z|的最小值．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：设x=x₀是方程x²+zx+4+3i=0的实数根，可求得z=-x0-

4

x0

-

3

x0

i，继而可得其模的解析式，应用基本不等式即可求得答案．

解答： 解：设x=x₀是方程x²+zx+4+3i=0的实数根，则

x

2 0

+zx0+4+3i=0，
即z=-x0-

4

x0

-

3

x0

i，
|z|=

(-x0- 4 x0 )2+(- 3 x0 )2

=

x 2 0 + 25 x 2 0 +8

≥

2 25 +8

=3

2

，
当且仅当

x

2 0

=

25

x 2 0

，x0=±

5

时，等号成立．
∴|z|的最小值为3

2

．

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查复数模的应用，熟练应用基本不等式是求|z|的最小值的关键，属于中档题．