Question

7．设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦点为F₁和F₂，P是椭圆上任一点，若∠F₁PF₂的最大值为$\frac{2π}{3}$，则此椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由椭圆的性质可得：当点P取椭圆短轴的一个端点时，∠F₁PF₂取得最大值为$\frac{2π}{3}$，可得tan∠OPF₂=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$=$\frac{c}{b}$，化简整理即可得出．

解答 解：由椭圆的性质可得：当点P取椭圆短轴的一个端点时，∠F₁PF₂取得最大值为$\frac{2π}{3}$，
∴tan∠OPF₂=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$=$\frac{c}{b}$，
∴c²=3b²=3（a²-c²），
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．