Question

已知椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=

3

3

，椭圆E的右顶点与上顶点之间的距离为

5

．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过顶点P（-3，4）且斜率为k的直线交椭圆E于不同的两点M，N，在线段MN上取异于M，N的点H，满足

| PM |

| PN |

=

| MH |

| HN |

．证明：点H恒在一条直线上，并求出点H所在的直线方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，焦点坐标为（c，0），由题知：

c a = 3 3 a2+b2 = 5

，又a²=b²+c²，解出即可；
（II） 设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₀，y₀），由已知直线MN的方程为y=kx+3k+4，与椭圆的方程联立可得：（2+3k²）x²+6k（3k+4）x+（27k²+72k+42）=0，
得到根与系数的关系．又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，满足

| PM |

| PN |

=

| MH |

| HN |

．可得

x1+3

x2+3

=

x0-x1

x2-x0

，进而解出x₀用k表示，及其y₀用k表示，消去k即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，焦点坐标为（c，0），
由题知：

c a = 3 3 a2+b2 = 5

，又a²=b²+c²，
解得：a²=3，b²=2，c=1．
∴椭圆E的标准方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ） 设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₀，y₀），
由已知直线MN的方程为y=kx+3k+4，
联立方程

2x2+3y2=6 y=kx+(3k+4)

，
消去y，得（2+3k²）x²+6k（3k+4）x+（27k²+72k+42）=0，
∴x₁+x₂=-

6k(3k+4)

2+3k2

，x₁x₂=

27k2+72k+42

2+3k2

．①
又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，
满足

| PM |

| PN |

=

| MH |

| HN |

．
∴

x1+3

x2+3

=

x0-x1

x2-x0

，
整理得：x₀=

2x1x2+3(x1+x2)

6+(x1+x2)

．
将①代入可得x₀=

6k+7

1-2k

，
∴y₀=kx₀+（3k+4）=

k(6k+7)

1-2k

+（3k+4）=

2k+4

1-2k

，
消去参数k得x₀-2y₀+1=0，
即H点恒在直线x-2y+1=0上．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、成比例线段的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．