Question

已知函数f(x)=2cos(

1

2

x-

π

6

)
（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）若α∈[-

π

2

，

π

2

]，且f（2α）=1，求α的值；
（3）若x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,余弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据三角函数的性质即可求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）根据f（2α）=1，解方程即可，求α的值；
（3）根据函数的性质即可求函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π，
由2kπ≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+π，k∈Z，
解得4kπ+

π

3

≤x≤4kπ+

7π

3

，k∈Z，
即函数的单调递减区间为[4kπ+

π

3

，kπ+

7π

3

]，k∈Z；
（2）由f（2α）=2cos（α-

π

6

）=1，
得cos（α-

π

6

）=

1

2

，
若α∈[-

π

2

，

π

2

]，则α-

π

6

∈[-

2π

3

，

π

3

]，
则α=-

π

6

或

π

2

；
（3）若x∈[0，

π

2

]，则

1

2

x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

12

]，
则cos（

1

2

x-

π

6

）∈[

3

2

，1]，
即函数f（x）∈[

3

，2]，
则函数f（x）的值域为[

3

，2]．

点评：本题主要考查三角函数的周期性，单调性和值域的求解，综合考查三角函数的图象和性质．