Question

已知函数f（x）=

3

2

sinωx-

1

2

cosωx-1（ω＞0）的周期T=π．
（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在x∈[0，

π

2

]时有两个公共点，其横坐标分别为x₁，x₂，求f（x₁+x₂）的值；
（2）已知三角形ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c且c=3，f（C）=0．若向量

m

=（1，sinA）与

n

=（2，sinB）共线，求a，b的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：计算题

分析：（1）利用两角和公式对函数解析式进行化简，通过周期公式求得ω．最后根据三角函数的邢子涵求得答案．
（2）利用函数解析式及f（C）的值可求得C，然后利用两向量平行得到a和b的关系式，由余弦定理得到a和b的关系式，最后联立求得a和b的值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sinωx-

1

2

cosωx-1=sin（ωx-

π

6

）-1且周期为π
∴

2π

ω

=π
∴ω=2
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）-1
∴y=f（x）的图象关于x=

π

3

对称，所以当x∈[0，

π

2

]时，y=m与函数f（x）图象的交点关于x=

π

3

对称，
∴x₁+x₂=

2π

3

，
∴f（x₁+x₂）=f（

2π

3

）=-

3

2

（2）由（1）知，f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0
∴sin（2C-

π

6

）=1
∴2C-

π

6

=kπ，（k∈Z）
∵0＜C＜π
∴C=

π

3

∵向量

m

与

n

共线
∴2sinA-sinB=0，即2a=b，①
∵a²+b²-2abcosC=c²，c=3②
①②求得a=

3

，b=2

3

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，平面向量积的运算及三角函数基本性质．