Question

11．已知函数g（x）=x³+x，若g（3a-2）+g（a+4）＞0，则实数a的取值范围是a＞-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，由函数的解析式分析可得函数g（x）为奇函数，并且是增函数；进而将g（3a-2）+g（a+4）＞0变形为g（3a-2）＞-g（a+4）=g（-a-4），由函数的单调性可将其转化为3a-2＞-a-4，解可得答案．

解答 解：根据题意，对于函数g（x）=x³+x，有g（-x）=-x³-x=-g（x），即函数g（x）为奇函数；
而g（x）=x³+x，g′（x）=2x²+1，则g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）为增函数；
若g（3a-2）+g（a+4）＞0，即g（3a-2）＞-g（a+4）=g（-a-4），
又由函数g（x）为增函数，则可以转化为3a-2＞-a-4，
解可得a＞-$\frac{1}{2}$；
即a的取值范围是a＞-$\frac{1}{2}$；
故答案为：a＞-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的判定与性质的运用，关键是判断并运用函数的奇偶性与单调性．