Question

7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1与x轴交于A、B两点，过椭圆上一点P（x₀，y₀）（P不与A、B重合）的切线l的方程为$\frac{{x}_{0}x}{9}$+$\frac{{y}_{0}y}{4}$=1，过点A、B且垂直于x轴的垂线分别与l交于C、D两点，设CB、AD交于点Q，则点Q的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1（x≠±3）．

Answer 1

分析 由椭圆方程可得A（-3，0），B（3，0），令x=-3，x=3分别代入切线方程，求得交点C，D，求得直线CB，AD的方程，两式相乘，再由P在椭圆上，化简整理即可得到所求轨迹方程．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=3，
可得A（-3，0），B（3，0），
由x=-3代入切线l的方程为$\frac{{x}_{0}x}{9}$+$\frac{{y}_{0}y}{4}$=1，
可得y=$\frac{4（3+{x}_{0}）}{3{y}_{0}}$，即C（-3，$\frac{4（3+{x}_{0}）}{3{y}_{0}}$），
由x=3代入切线l的方程为$\frac{{x}_{0}x}{9}$+$\frac{{y}_{0}y}{4}$=1，
可得y=$\frac{4（3-{x}_{0}）}{3{y}_{0}}$，即D（3，$\frac{4（3-{x}_{0}）}{3{y}_{0}}$），
可得直线CB的方程为y=$\frac{2（3+{x}_{0}）}{-9{y}_{0}}$（x-3）①
直线AD的方程为y=$\frac{2（3-{x}_{0}）}{9{y}_{0}}$（x+3）②
①×②可得y²=-$\frac{4（9-{{x}_{0}}^{2}）}{81{{y}_{0}}^{2}}$（x²-9），③
结合P在椭圆上，可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
即有9-x₀²=$\frac{9{{y}_{0}}^{2}}{4}$，
代入③可得，$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1（x≠±3）．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1（x≠±3）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程联立求交点，以及点的轨迹方程的求法，注意运用消元法，考查运算能力，属于中档题．