Question

20．已知函数f（x）=|x-m|+|x|（m∈R）
（1）若f（1）=1，解关于x的不等式f（x）＜2
（2）若f（x）≥m²对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意求得m=1，不等式即|x-1|+|x|＜2，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围，综合可得结论．
（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为|m|，要使f（x）≥m²对任意实数x恒成立，只需|m|≥m²，由此求得m的范围．

解答 解：（1）由f（1）=1可得|1-m|+1=1，故m=1．
由f（x）＜2可得|x-1|+|x|＜2．
①当x＜0时，不等式可变为（1-x）-x＜2，解之得x＞-$\frac{1}{2}$，∴-$\frac{1}{2}$＜x＜0；
②当0≤x≤1时，不等式可变为（1-x）+x＜2，即1＜2，∴0≤x≤1；
③当x＞1时，不等式可变为（x-1）+x＜2，解之得x＜$\frac{3}{2}$，∴1＜x＜$\frac{3}{2}$．
综上可知，原不等式的解集为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
（2）由绝对值不等式的性质可得f（x）=|x-m|+|x|≥|x-m-x|=|m|，
当且仅当（x-m）•x≤0时等号成立，故f（x）的最小值为|m|．
要使f（x）≥m²对任意实数x恒成立，故只需|m|≥m²，即|m|•（|m|-1）≤0，
故|m|≤1，即-1≤m≤1，即实数m的取值范围是[-1，1]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，属于中档题．