题目内容
椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+
=0相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知直线l过点M（﹣
，0）且与开口向上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直线l与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于D点，若
=λ
，
=μ
，且λ+μ=﹣4，求抛物线C的标准方程．
解：（1）由题意知e=
=
，
，
即a=
b…（1分）
又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+
=0相切，
∴b=
=1，…（2分）
∴a=，
故椭圆的方程为
…（4分）
（2）设抛物线C的方程为y=ax2（a＞0），直线l与抛物线的切点为N（x0，ax02）
∵y′=2ax，∴切线l的斜率为2ax0，
∴切线方程为y﹣ax02=2ax0（x﹣x0），
∵直线l过点M（﹣
，0），
∴﹣ax02=2ax0（﹣﹣x0），
∵点N在第二象限，∴x0＜0，
解得x0=﹣1．∴N（﹣1，a）．
∴直线l的方程为y=﹣2ax﹣a…（8分）
代入椭圆方程整理得（1+8a2）x2+8a2x+2a2﹣2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2=﹣
，x1x2=
…（10分）
由
=λ
，
=μ
，
得λ=
，μ=
∴λ+μ=
+=
=﹣4，
∵a＞0，
∴a=
∴抛物线的标准方程为x2=
y…（13分）
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)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则( )
的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
B． 
C． 
D． 
；
(x≠a)．