Question

已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点（2，3）．
（1）求该双曲线的标准方程
（2）若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,抛物线的标准方程,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件列出方程求出a，利用双曲线的三参数的关系，求出b，据双曲线焦点的位置求出双曲线的标准方程；
（2）直线方程为y=2x-4代入双曲线方程，整理，利用弦长公式，可求直线l被双曲线C截得的弦长．

解答： 解：∵双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点（2，3 ）．
∴2c=4，c=2，2a=

(2+2)2+32

-

(2-2)2+32

=2，∴a=1，
∵c²=a²+b²
∴b²=3
∴双曲线C的标准方程为：x2-

y2

3

=1；
（2）直线方程为y=x-2代入x2-

y2

3

=1，整理可得2x²+4x-7=0，x₁+x₂=-2，x₁x₂=-

7

2

．
∴直线l被双曲线C截得的弦长为

1+k2

|x2-x1|=

2

(x2+x1)2-4x1x2

=

2

•

4+4× 7 2

=6．

点评：求圆锥曲线的方程关键先判断出焦点的位置、考查双曲线中三参数的关系为c²=a²+b²，注意与椭圆中三个参数关系的区别，弦长公式的应用．考查分析问题解决问题的能力．