Question

6．已知函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+4x-3lnx在（t，t+1）上存在极值点，则实数t的取值范围是（0，1）∪（2，3）．

Answer 1

分析 先求解导函数f′（x），再由“函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+4x-3lnx在（t，t+1）上存在极值点”，转化为“f′（x）=0在区间（t，t+1）上有解”，进而求出答案．

解答 解：∵函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+4x-3lnx，可知x＞0，
∴f′（x）=-x+4$-\frac{3}{x}$，
∵函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+4x-3lnx在（t，t+1）上存在极值点，
∴f′′（x）=-x+4$-\frac{3}{x}$=0在（t，t+1）上有解
∴$\frac{{x}^{2}-4x+3}{x}$=0在（t，t+1）上有解
∴g（x）=x²-4x+3=0在（t，t+1）上有解，
由x²-4x+3=0得：x=1，或x=3，
∴1∈（t，t+1），
即t∈（0，1），
∴3∈（t，t+1），
即t∈（2，3），
故实数t的取值范围是（0，1）∪（2，3），
故答案为：（0，1）∪（2，3）．

点评 本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．