Question

7．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后得g（x）的图象，若对满足f（x₁）•g（x₂）=-1的任意x₁，x₂，都有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{4}$，则φ的值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{5π}{12}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根据函数平移关系求出函数g（x）的解析式，根据条件对满足f（x₁）•g（x₂）=-1的任意x₁，x₂，都有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{4}$，建立方程关系进行求解即可．

解答 解：将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后得g（x）的图象，
则g（x）=sin2（x-φ）=sin（2x-2φ），
则由f（x₁）•g（x₂）=-1得sin2x₁•sin（2x₂-2φ）=-1，
则sin2x₁=1，且sin（2x₂-2φ）=-1，或sin2x₁=-1，且sin（2x₂-2φ）=1，
根据对称性不妨取sin2x₁=1，且sin（2x₂-2φ）=-1，
则2x₁=$\frac{π}{2}$+2k₁π，2x₂-2φ=-$\frac{π}{2}$+2k₂π，
得x₁=$\frac{π}{4}$+k₁π，x₂=φ-$\frac{π}{4}$+k₂π，
则x₁-x₂=$\frac{π}{4}$+k₁π，-φ+$\frac{π}{4}$-k₂π=$\frac{π}{2}$-φ+（k₁-k₂）π，
∵|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{4}$，
∴|$\frac{π}{2}$-φ+（k₁-k₂）π|_min=$\frac{π}{4}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴当（k₁-k₂）π=0时，$\frac{π}{2}$-φ=$\frac{π}{4}$，得φ=$\frac{π}{4}$，
故选：B．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的图象平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．