Question

1．如图，在几何体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，EC∥FA，FA=2EC=2$\sqrt{2}$，底面ABCD为平行四边形，AD⊥BD，AD=BD=2，FD⊥BE．
（1）求证：FD⊥平面BDE；
（2）求三棱锥F-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）由FA⊥平面ABCD得FA⊥BD，又BD⊥AD，故BD⊥平面FAD，于是FD⊥BD，又FD⊥BE，于是FD⊥平面BDE；
（2）证明BD⊥平面BCE，得出BD⊥BE，计算Rt△BDE的面积和棱锥的高FD，代入公式计算得出体积．

解答 解：（1）∵FA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴FA⊥BD，又AD⊥BD，FA?FAD，AD?平面FAD，FA∩AD=A，
∴BD⊥平面FAD，∵FD?平面FAD，
∴BD⊥FD，又FD⊥BE，BD?平面BDE，BE?平面BDE，BD∩BE=B，
∴FD⊥平面BDE．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BD=BC=2，∵AD⊥BD，∴CD=2$\sqrt{2}$，
∵CE=$\sqrt{2}$，∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{6}$，DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}=\sqrt{10}$．
∴BD²+BE²=DE²，∴BD⊥BE．
∵FA=2$\sqrt{2}$，AD=2，∴FD=$\sqrt{F{A}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴V_F-BDE=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•FD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{6}×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．