题目内容
13．已知圆锥曲线$C：\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α为参数）$和定点$A（{0，\sqrt{3}}）$，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线AF2的极坐标方程；
（Ⅱ）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M，N两点，求||MF1|-|NF1||的值．
分析 （Ⅰ）消去参数α可得曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1，先得直线的普通方程，化为极坐标方程即可；
（Ⅱ）易得l的方程，解方程组可得交点坐标，由两点间的距离公式可得．
解答 解：（Ⅰ）消去参数α可得曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1，
可得F1（-$\sqrt{3}$，0），F2（$\sqrt{3}$，0），
∴直线AF2的斜率为k=$\frac{\sqrt{3}-0}{0-\sqrt{3}}$=-1，
故直线方程为y-$\sqrt{3}$=-（x-0），即x+y=$\sqrt{3}$，
∴极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）经过点F1（-$\sqrt{3}$，0）且与直线AF2垂直的直线l斜率为1，
故l的方程为y-0=x+$\sqrt{3}$，即y=x+$\sqrt{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$可解得M（$\frac{-4\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{5}$，$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{5}$），N（$\frac{-4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5}$，$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5}$），
∴由两点间的距离公式可得||MF1|-|NF1||=$\frac{8}{5}$．
点评 本题考查椭圆的参数方程和直线的极坐标方程，涉及直线和椭圆相交的问题，属中档题．
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3．
已知双曲线方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，以O为圆心，实半轴长为半径作圆O，过双曲线的焦点F作圆O的两条切线，切点为A，B，若四边形FAOB为正方形，则双曲线的离心率为（ ）
已知双曲线方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，以O为圆心，实半轴长为半径作圆O，过双曲线的焦点F作圆O的两条切线，切点为A，B，若四边形FAOB为正方形，则双曲线的离心率为（ ）| A． | $\frac{3}{2}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |
如图，在几何体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，EC∥FA，FA=2EC=2$\sqrt{2}$，底面ABCD为平行四边形，AD⊥BD，AD=BD=2，FD⊥BE．
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=4，BC=3，AA1=4，AC⊥BC，点M在线段AB上．
18．过原点的直线l与双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=-1$有两个交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
| A． | $[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$ | B． | $（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$ | C． | $（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）∪（{\frac{π}{2}，\frac{5π}{6}}）$ | D． | $[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）∪（{\frac{π}{2}，\frac{5π}{6}}]$ |
已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点．
如图所示，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，且AB=4，SA⊥平面ABCD，∠SDA=60°，E、F、G分别是SC、SD、AC上的点，且$\frac{SE}{EC}$=$\frac{SF}{FD}$=$\frac{AG}{GC}$．
如图所示的几何体是由一个正三棱锥S-A1B1C1和一个所有棱长都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，且该几何体的外接球（几何体的所有顶点都在该球面上）的表面积为7π，则三棱锥S-A1B1C1的体积为$\frac{\sqrt{21}-3}{8}$．