Question

若正项数列{a_n}的前n项和S_n满足2a_n•S_n=a_n²+1（n∈N₊），则通项a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由已知的数列递推式求得a₁，且得到an-

1

an

=an-1+

1

an-1

，代入a₁后求得a₂，再求得a₃，猜测出数列
{a_n}的通项公式an=

n

-

n-1

．然后用数学归纳法证明．

解答： 解：由2a_n•S_n=a_n²+1，
得2a1•S1=a12+1，即a12=1．
∵a_n＞0，∴a_n=1．
由2a_n•S_n=a_n²+1，得2Sn=an+

1

an

  ①，
当n≥2时，2Sn-1=an-1+

1

an-1

  ②，
①-②得an-

1

an

=an-1+

1

an-1

，
由a₁=1，得
a2=

2

-

1

，
a3=

3

-

2

，
…
猜测an=

n

-

n-1

．
下面用数学归纳法证明：
当n=1时，a1=1=

1

-

1-1

，通项公式成立，
假设n=k时成立，即ak=

k

-

k-1

．
那么，当n=k+1时，由an-

1

an

=an-1+

1

an-1

，
得ak+1-

1

ak+1

=

k

-

k-1

+

1

k - k-1

=2

k

，
即ak+12-2

k

ak+1-1=0，解得ak+1=

k+1

-

k

，通项公式成立．
综上，an=

n

-

n-1

．
故答案为：

n

-

n-1

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了利用归纳法证明与自然数有关的命题，是中档题．