Question

已知2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），当ab取得最小值时，曲线

x|x|

a

-

y|y|

b

=1上的点到直线y=

2

x的距离取值范围是（　　）

• A、（0，2

  2

  ]
• B、[0，2

  2

  ]
• C、[0，+∞）
• D、（0，

  2 6

  3

  ]

Answer 1

考点：点到直线的距离公式,曲线与方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：利用基本不等式可得b=2a=4．再对x，y分类讨论，画出图形，利用直线与曲线相切的性质即可得出．

解答：解：∵2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），
∴ab=2a+b≥2

2ab

，化为

ab

(

ab

-2

2

)≥0，
∴

ab

≥2

2

，
解得ab≥8．
当且仅当b=2a=4时取等号．
∴曲线为

x|x|

2

-

y|y|

4

=1．
当x≥0，y≥0时，曲线化为

x2

2

-

y2

4

=1；
当x≥0，y≤0时，曲线化为

x2

2

+

y2

4

=1；
当x≤0，y≥0时，曲线化为

-x2

2

-

y2

4

=1，此时无图形，应舍去；
当x≤0，y≤0时，曲线化为

-x2

2

+

y2

4

=1．
画出图形：由图形可知：直线y=

2

x分别是曲线

x2

2

-

y2

4

=1，曲线

-x2

2

+

y2

4

=1的渐近线．因此点到直线y=

2

x的距离d＞0．
设直线y=

2

x+m与曲线

x2

2

+

y2

4

=1（x≥0，y≤0）相切．
联立

y= 2 x+m 2x2+y2=4

化为4x2+2

2

mx+m2-4=0，
令△=8m²-16（m²-4）=0，解得m=-2

2

．
∴切线为y=

2

x-2

2

．
两平行线y=

2

x-2

2

，y=

2

x的距离d=

|0+2 2 |

3

=

2 6

3

．
∴曲线

x|x|

a

-

y|y|

b

=1上的点到直线y=

2

x的距离取值范围是（0，

2 6

3

]．
故选：D．

点评：本题考查了基本不等式、直线与曲线相切的性质、两点间的距离公式、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．