Question

设

OA

=（1，0），

OB

=（a，1-b），

OC

=（b，

1

2

）（a＞0，b＞0），O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则2b-a的最小值是（　　）

• A、2
• B、4
• C、

  1

  4

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：平行向量与共线向量

专题：平面向量及应用

分析：先利用向量的加减法分别求出

AB

，

AC

，再根据若A、B、C三点共线，则

AB

=λ

AC

，λ≠0，再消去λ，得到2b-a=2b²-2b+1=2(b-

1

2

)2+

1

2

，求出最小值即可．

解答：解：∵

OA

=（1，0），

OB

=（a，1-b），

OC

=（b，

1

2

）（a＞0，b＞0），
∴

AB

=(a-1，1-b)，

AC

=(b-1，

1

2

)
∵A、B、C三点共线，则

AB

=λ

AC

，λ≠0，
∴（a-1，1-b）=λ(b-1，

1

2

)
即：

a-1=λ(b-1) 1-b= 1 2 λ

∴a-1=-2b²+4b-2
∴2b-a=2b²-2b+1=2(b-

1

2

)2+

1

2

∴当b=

1

2

时，2b-a有最小值，最小值是

1

2

．
故选：D．

点评：本题主要考查了向量的共享问题和二次函数的最小值问题，属于中档题．