Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{2}$=1，点A在椭圆上（不是顶点），点A关于x轴、y轴、原点的对称点分别为B、D、C，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 在$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上，设点A（x，y）（xy≠0）由题可得四边形ABCD的面积为4|xy|，利用基本不等式的性质即可得出|xy|的最大值．

解答 解：在$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上，设点A（x，y）（xy≠0）由题可得四边形ABCD的面积为4|xy|，
由$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1≥2\sqrt{\frac{{{{（xy）}^2}}}{8}}$，
当且仅当$\frac{x^2}{4}=\frac{y^2}{2}$时即$x=±\sqrt{2}，y=±1$取等号，
∴|xy|最大值为$\sqrt{2}$，即四边形ABCD的面积最大值为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、矩形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．