题目内容

2.已知函数f (x)=$\sqrt{lo{g}_{0.3}(4x-1)}$的定义域为A,m>0,函数g(x)=4 x-1(0<x≤m)的值域为B.
(1)当m=1时,求 (∁R A)∩B;
(2)是否存在实数m,使得A=B?若存在,求出m的值; 若不存在,请说明理由.

分析 (1)求出f(x)的定义域确定出A,进而求出A的补集,把m=1代入确定出x的范围,进而求出g(x)的值域,确定出B,找出A补集与B的交集即可;
(2)表示出g(x)的值域确定出B,根据A=B求出m的值即可.

解答 解:(1)由题意得:$\left\{\begin{array}{l}{4x-1>0}\\{lo{g}_{0.3}(4x-1)≥0}\end{array}\right.$,
解得:$\frac{1}{4}$<x≤$\frac{1}{2}$,即A=($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}$],
∴∁RA=(-∞,$\frac{1}{4}$]∪($\frac{1}{2}$,+∞),
当m=1时,由0<x≤1,得到$\frac{1}{4}$<4x-1≤1,即B=($\frac{1}{4}$,1],
则(∁RA)∩B=($\frac{1}{2}$,1];
(2)由题意得:B=($\frac{1}{4}$,4m-1],
若存在实数m,使A=B,则必有4m-1=$\frac{1}{2}$,
解得:m=$\frac{1}{2}$,
则存在实数m=$\frac{1}{2}$,使得A=B.

点评 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

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