题目内容
【题目】在等腰梯形
中，
，
，
，点
为
的中点.现将
沿线段
翻折，得四棱锥
，且二面角
为直二面角.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接
，取
中点
，连接
，
，通过等边三角形的性质得到
，
，根据线面垂直判定定理得到
平面
，故而可得结论；（2）由面面垂直性质定理可得
平面
，求出平面
的法向量为
，同时
是平面的一个法向量，求出法向量夹角的余弦值，进而可得结果.
（1）如图连接，易知
，
均为正三角形，取中点，
连接，，则，.
又
，
平面
，
平面，
又
平面，所以
.
（2）因为二面角
为直二面角，所以平面
平面
，
又因为平面
平面
，且
，所以平面.
又因为
，故以点为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系
.
则
，
，
.
所以
，
.
设平面的法向量为
.由
得
取
，所以.
又因为直线平面，所以是平面的一个法向量，
所以
.
又因为二面角
为锐二面角，
所以二面角的余弦值.
【题目】某公司对4月份员工的奖金情况统计如下：
奖金（单位：元） | 8000 | 5000 | 4000 | 2000 | 1000 | 800 | 700 | 600 | 500 |
员工（单位：人） | 1 | 2 | 4 | 6 | 12 | 8 | 20 | 5 | 2 |
根据上表中的数据，可得该公司4月份员工的奖金：①中位数为800元；②平均数为1373元；③众数为700元，其中判断正确的个数为（ ）
A.0B.1C.2D.3
【题目】已知某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组[50,55)，第二组[55,60)，…，第五组[70,75]，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若前两组的学生中体育生有8名．
(1)根据频率分布直方图及题设数据完成下列2×2列联表.
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合计 | |
体育生 | 20 | ||
艺术生 | 30 | ||
合计50 |
(2)根据(1)中表格数据计算可知，________(填“有”或“没有”)99.5%的把握认为“心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关”．
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
