Question

如图，在矩形ABCD中，沿对角线BD把ABCD折起，使C移到C′，且BC′⊥AC′．
（1）求证：平面ACD⊥平面ABC′；
（2）若AB=2，BC=1，求三棱锥C′-ABD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得BC′⊥平面AC′D，AD⊥BC′，从而AD⊥平面ABC′，由此能证明平面ACD⊥平面ABC′．
（2）由VC′-ABD=VB-AC′D，利用等积法能求出棱锥C′-ABD的体积．

解答： （1）证明：∵BC′⊥C′D，BC′⊥AC′，且C′D∩AC′=C′，
∴BC′⊥平面AC′D
∵AD?平面AC′D，∴AD⊥BC′，
∵矩形ABCD中，AD⊥AB，
又AB∩BC′=B，∴AD⊥平面ABC′，
∵AD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC′．
（2）解：∵AB=2，BC=1，
∴BC'=BC=1，DC=AC'=

3

，
∴AD²+AC^'2=DC^'2，AC'⊥C'D
∴sin∠ADC′=

3

2

，
S△ADC′=

2×1×sin∠ADC′

2

=

3

2

，
∴三棱锥C′-ABD的体积：
VC′-ABD=VB-AC′D=

1

3

×S△ADC′×BC′=

3

6

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．