Question

如图，三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，AB=4，AD=BD，VA=VB=

13

，BC=

29

，VC=4．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求证：VC⊥平面ABV．
（3）求V_V-ABC．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得VD⊥AB，VO⊥AB，从而AB⊥平面VCD，由此能证明CD⊥AB．
（2）由已知得VC⊥AB，△ADC≌△BDC，从而AC=BC=

29

，进而VC⊥VA，由此能证明VC⊥平面ABV．
（3）由已知得VD=

13-4

=3，CD=

29-4

=5，OD=

9

5

，VO=

9- 81 25

=

12

5

，由此能求出V_V-ABC．

解答： （1）证明：∵VA=VB，AD=BD，
∴VD⊥AB，
∵VO⊥平面ABC，AB?平面ABC上，∴VO⊥AB，
∴AB⊥平面VCD，
∵CD?平面VCD，∴CD⊥AB．
（2）证明：∵AB⊥平面VCD，VC?平面VCD，
∴VC⊥AB，
∵AD=BD，CD=CD，∠BDC=∠ADC=90°，
∴△ADC≌△BDC，∴AC=BC=

29

，
∵VA=

13

，VC=4，∴AC²=VA²+VC²，
∴VC⊥VA，
又AB∩VA=A，∴VC⊥平面ABV．
（3）解：由已知得VD=

13-4

=3，CD=

29-4

=5，
∵VO²=VD²-OD²=VC²-CO²，
∴9-OD²=16-（5-OD）²，
解得OD=

9

5

，
VO=

9- 81 25

=

12

5

，
S△ABC=

1

2

×4×5=10，
∴V_V-ABC=

1

3

×S△ABC×VO=

1

3

×10×

12

5

=8．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥垂直的证明，解题时要注意空间思维能力的培养．