Question

在长方体ABCD－中，AB= a，BC= b，=c，求异面直线所成角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解法1 如图(1)，为经过点C作和平行的直线，可以补上一个与已知长方体相同的长方体DCEF－，则BC，从而，相交直线所成的锐角就是异面直线所成的角． 　　在矩形ABCD中，． 　　在Rt△， 　　∴． 　　在矩形． 　　在矩形． 　　在△中，由余弦定理得： 　　cos． 　　(1)当c＞b时，cos∠＞0，这时∠是锐角，∠就是异面直线所成的角； 　　(2)当c＜b时，cos∠＜0，这时∠是钝角，它的补角是异面直线所成的角； 　　(3)当c=b时，cos． 　　综上讨论，所求异面直线所成角的余弦值等于． 　　解法2 利用三角形的中位线性质来作两条异面直线的平行线得出两条相交直线，使它们所成的角就是异面直线所成的角． 　　如图(2)，是和异面直线都相交的线段．设M是的中点，P，Q分别为BC，的中点，则MP∥，MQ∥，相交直线MP和MQ所成的角就是异面直线所成的角． 　　在△PQM中，MP=， 　　MQ=． 　　由余弦定理可以得到和解法1同样的结果． 　　说明 通常把解法1称为补形法，解法2称为中位线法．它们是求异面直线所成角的两种常用方法．