Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，底边AB上有且只有一点M使得平面D₁DM⊥平面D₁MC．
（1）求异面直线C₁C与D₁M的距离；
（2）求二面角M-D₁C-D的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据面与面垂直得到线与面垂直，有DH⊥MC，满足条件的M只有一个，以CD为直径的圆必与AB相切，切点为M，M为的AB中点，得到MC为异面直线CC₁与D₁M的公垂线段．
（2）取CD中点E，连接ME，得到线面垂直，做出二面角的平面角，在直角三角形中，根据三角函数的定义，得到要求角的三角函数值．

解答：解：（1）证明：过D作DH⊥D₁M于H
∵平面D₁DM⊥平面D₁MC且平面D₁DM∩平面D₁MC=D₁M
∴DH⊥平面D₁MC
∴DH⊥MC
又∵MC⊥D₁D
∴MC⊥平面D₁DM
∴MC⊥DM
又∵满足条件的M只有一个
∴以CD为直径的圆必与AB相切，
切点为M，M为的AB中点
∴

1

2

CD=AD
∴CD=2
∵MC⊥平面D₁DM，
∴MC⊥D₁M
又∵CC₁⊥MC，所以MC为异面直线CC₁与D₁M的公垂线段
CM的长度为所求距离

2

（2）取CD中点E，连接ME，则ME⊥平面D₁CD
过M作MF⊥D₁C于F，连接EF，则EF⊥CD₁
∴∠MFE为二面角的平面角
又∵ME=1，MF=

30

5

在RT△MEF中sin∠MFE=

30

6

点评：本题是一个立体几何的综合题目，在解题过程中注意异面直线之间的距离的证法和求法，这是本题的难点．