Question

3．在平面直角坐标系xOy中，钝角α的终边与单位圆的交点为A且A点的纵坐标为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，锐角β的终边与单位圆的交点为B且B点的横坐标为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求sin（α+$\frac{π}{4}$）；
（2）求tan（2α+β）．

Answer 1

分析 （1）由题意可得A和B的坐标，由三角函数定义可得cosα和sinα，由两角和的正弦公式可得；
（2）由（1）可得tanα=-$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{2}$，由二倍角公式可得tan2α，代入两角和的正切公式可得．

解答 解：（1）由题意可得A（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$），B（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
∴cosα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）由（1）可得tanα=-$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{2}$，∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-$\frac{4}{3}$，
∴tan（2α+β）=$\frac{tan2α+tanβ}{1-tan2αtanβ}$=$\frac{-\frac{4}{3}+\frac{1}{2}}{1-（-\frac{4}{3}）×\frac{1}{2}}$=-$\frac{1}{2}$

点评 本题考查三角函数的定义和和差角的三角函数及二倍角公式，属基础题．