Question

16．已知△ABC是边长为$2\sqrt{3}$的正三角形，PQ为△ABC外接圆O的一条直径，M为△ABC边上的动点，则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{MQ}$的最大值是3．

Answer 1

分析 以边AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
对点M的取值情况分三种情形进行讨论，再运用数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，求其最大值．

解答 解：以边AB所在直线为x轴，
以AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示；
∵正三角形ABC的边长为2$\sqrt{3}$，
∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，0），C（0，3），
P（0，-1），Q（0，3），
当点M在边AB上时，设点M（x₀，0），则-$\sqrt{3}$≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{PM}$=（x₀，1），$\overrightarrow{MQ}$=（-x₀，3），
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$=-x₀²+3，
∵-$\sqrt{3}$≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∴x₀=0时，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$取得最大值为3；
当点M在边BC上时，
直线BC的斜率为-$\sqrt{3}$，
直线BC的方程为：$\sqrt{3}$x+y-3=0，
设点M（x₀，3-$\sqrt{3}$x₀），则0≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{PM}$=（x₀，4-$\sqrt{3}$x₀），$\overrightarrow{MQ}$=（-x₀，$\sqrt{3}$x₀），
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$=-4x₀²+4$\sqrt{3}$x₀，
∵0≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∴x₀=0时，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$取得最大值为0；
当点M在边AC上时，
直线AC的斜率为$\sqrt{3}$，
∴直线AC的方程为：$\sqrt{3}$x-y+3=0，
设点M（x₀，3+$\sqrt{3}$x₀），则-$\sqrt{3}$≤x₀≤0，
∵$\overrightarrow{PM}$=（x₀，4+$\sqrt{3}$x₀），$\overrightarrow{MQ}$=（-x₀，-$\sqrt{3}$x₀），
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$=-4x₀²-4$\sqrt{3}$x₀，
∵-$\sqrt{3}$≤x₀≤0，
∴当x₀=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MQ}$取得最大值为3；
综上，$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{MQ}$的最大值为3．
故答案为：3．

点评 本题重点考查了平面向量的基本运算、数量积的运算性质等知识，属于中档题．