Question

4．曲线C：ρ²-2ρcosθ-8=0  曲线E：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=kt+1}\end{array}\right.$（t是参数）
（1）求曲线C的普通方程，并指出它是什么曲线．
（2）当k变化时指出曲线K是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线E截曲线C所得弦长的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的普通方程，即可指出它是什么曲线．
（2）当直线E与圆心连线垂直时弦长最小，利用勾股定理可得结论．

解答 解：（1）∵曲线C：ρ²-2ρcosθ-8=0，
∴x+y-2x-8=0，
∴（x-1）²+y²=9，
表示圆心（1，0）半径为3的圆；
（2）曲线E：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=kt+1}\end{array}\right.$消去参数得y-1=k（x-2）m是一条恒过定点（2，1）的直线（但不包括x=2），当直线E与圆心连线垂直时弦长最小，
设圆心到直线E的距离为d，则d=$\sqrt{2}$，所以弦长的最小值=2$\sqrt{9-2}$=2$\sqrt{7}$

点评 本题考查极坐标与直角坐标的转化，考查直线过定点，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．