Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，E是棱AB的中点，F是棱CD的中点．
（1）求证：直线B₁F∥平面D₁DE；
（2）求二面角C₁-BD₁-B₁的大小；
（3）若点P是棱AB上的一个动点，求四面体DP₁C₁体积的最大值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取棱A₁B₁的中点E₁，连结E₁D，由已知得四边形DFB₁E₁为平行四边形，由此能证明B₁F∥平面D₁DE．
（2）取A₁C₁与B₁D₁的交点O₁，在平面BB₁D₁D上作O₁H⊥BD₁，重足为H，连结HC₁，∠O₁HC₁是所求二面角的平面角，由此能求出二面角C₁-BD₁-B₁的大小．
（3）延长BA到M，使AM=AB，连结MD，则四边形MACD是平行四边形，当动点P与B重合时，P到平面DA₁C₁的距离最大，四面体DPA₁C₁体积最大．此时四面体DPA₁C₁为正四面体，由此能求出四面体DP₁C₁体积的最大值．

解答： （1）证明：取棱A₁B₁的中点E₁，连结E₁D．
∵B₁E₁∥DF且相等，
∴四边形DFB₁E₁为平行四边形，∴B₁F∥DE₁．
又∵B₁F不包含于平面D₁DE，DE₁?平面D₁DE，
∴B₁F∥平面D₁DE．
（2）解：取A₁C₁与B₁D₁的交点O₁，
在平面BB₁D₁D上作O₁H⊥BD₁，重足为H，
连结HC₁．∵C₁O₁⊥B₁D₁，平面BB₁D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴C₁O₁⊥平面BB₁D₁D，∴C₁H⊥BD₁，
即∠O₁HC₁是所求二面角的平面角，
又C₁O₁=

2

2

a，C1H=

BC1•D1C1

BD1

=

6

3

a，
sin∠O₁HC₁=

C1O1

C1H

=

3

2

，
∠O₁HC₁=60°，∴二面角C₁-BD₁-B₁的大小是60°．
（3）解：延长BA到M，使AM=AB连结MD，
∵AB∥DC且相等，
∴AM∥DC且相等，∴四边形MACD是平行四边形．
∴MD∥AC且相等，
又四边形A₁ACC₁是平行四边形，
∴AC∥A₁C₁且相等，
∴MD∥A₁C₁且相等，
∴MD与A₁C₁确定一个平面，即平面DA₁C₁，
∴M是直线BA与平面DA₁C₁的交点．
∴当动点P与B重合时，P到平面DA₁C₁的距离最大，
四面体DPA₁C₁体积最大．
此时四面体DPA₁C₁为正四面体，
棱长是

2

a，故四面体底面面积为

3

2

a2，高为

2 3

3

a，体积V=

1

3

a3．

点评：本题考查直线B₁F∥平面D₁DE的证明，考查二面角C₁-BD₁-B₁的大小的求法，考查四面体DP₁C₁体积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．