Question

如图1，矩形CDEF中DF=2CD=2，将平面ABCD沿着中线AB折成一个直二面角（如图2），点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜

2

）．

（1）求MN的长；
（2）当a为何值时，MN的长最小；
（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的钝二面角α的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MNQP是平行四边形，由此能求出MN的长．
（2）由已知得当M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为

2

2

．
（3）取MN的中点G，连结AG、BG，∠AGB即为二面角α的平面角，由此能求出面MNA与面MNB所成的钝二面角α的余弦值．

解答： 解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，
连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，
即MNQP是平行四边形，
∴MN=PQ．由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴AC=BF=

2

，

CP

1

=

a

2

，

BQ

1

=

a

2

．
即CP=BQ=

a

2

．
∴MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=

(1- a 2 )2+( a 2 )2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

（0＜a＜

2

）．…（5分）
（2）由（Ⅰ），MN=

(a- 2 2 )2+ 1 2

，
∴当a=

2

2

时，MN=

2

2

．
即M、N分别移动到AC、BF的中点时，
MN的长最小，最小值为

2

2

．…（8分）
（3）取MN的中点G，连结AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点
∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，…（10分）
又AG=BG=

6

4

，
∴由余弦定理有cosα=

( 6 4 )2+( 6 4 )2-1

2• 6 4 • 6 4

=-

1

3

．
故所求二面角的余弦值为-

1

3

…（12分）

点评：本题考查线段长的最小值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．