Question

过点P（-2，1）引抛物线y²=4x的两条切线，切点分别为A、B，F是抛物线的焦点，则直线PF与直线AB的斜率之和为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先确定F点坐标，进而求出直线PF斜率k_PF，再求出两个切点AB的坐标，求出直线AB斜率k_AB，相加可得答案．

解答： 解：∵抛物线y²=4x的焦点F坐标为（1，0），点P（-2，1），
故直线PF斜率k_PF=

1

-2-1

=-

1

3

，
设点P（-2，1）与抛物线y²=4x相切的直线为：x+2=m（y-1），
则y²=4（my-m-2），即y²-4my+4m+8=0的△=16m²-16m-32=0，
解得：m=-1，或m=2，
当m=-1时，方程y²-4my+4m+8=0可化为y²+4y+4=0，解得：y=-2，代入y²=4x得：x=1，
当m=2时，方程y²-4my+4m+8=0可化为y²-8y+16=0，解得：y=4，代入y²=4x得：x=4，
即A，B两点的坐标为：（1，-2），（4，4），
故直线AB斜率k_AB=

4+2

4-1

=2，
故直线PF与直线AB的斜率之和为2-

1

3

=

5

3

，
故答案为：

5

3

点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线的斜率，难度不大，属于基础题．