Question

设F₁，F₂为双曲线x²-y²=1的左右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F₁PF₂为直角，则sinPF₁F₂的所有可能取值之和为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由|PF₁|-|PF₂|=2，|PF₁|²+|PF₂|²=8，求出：|PF₁|=

3

+1，|PF₂|=

3

-1，利用直角三角形即可得出sin∠PF₁F₂=

3 -1

2 2

=

6 - 2

4

，
再利用对称性得出 另一个值

6 + 2

4

．

解答： 解：∵F₁，F₂为双曲线x²-y²=1的左右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F₁PF₂为直角
∴|F₁F₂|=2

2

，
|PF₁|-|PF₂|=2，
|PF₁|²+|PF₂|²=8，
联合方程求解得：|PF₁|=

3

+1，|PF₂|=

3

-1，
∴sin∠PF₁F₂=

3 -1

2 2

=

6 - 2

4

，
cos∠PF₁F₂=

3 +1

2 2

=

6 + 2

4

，
根据对称性可知：当P点在坐支上时，此时的sinPF₁F₂=

6 + 2

4

故

6 - 2

4

+

6 + 2

4

=

6

2

，
故答案为：

6

2

．

点评：本题考查了双曲线的定义，焦点三角形的性质，勾股定理，双曲线的对称性，综合求解问题，属于中档题．