题目内容

在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=
2
，CD=
3
，若
AD
•
BC
=15，则
AC
•
BD
的值为
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：画出图形，结合图形，先求出
AB
•
DC
的值，再利用
AD
•
BC
=15，求出
AC
•
BD
的值．
解答： 解：如图所示，
设AB∩DC=O，∵
AB
=
AE
+
EF
+
FB
=
EF
+
AD
-
BC
2
，
DC
=
DE
+
EF
+
FC
=
EF
+
BC
-
AD
2
，
两式相加得
EF
=
AB
+
DC
2
；
∵AB=1，EF=
2
，CD=
3
，平方得 2=
1+3+2
AB
•
DC
4
；
∴
AB
•
DC
=2；
又∵
AD
•
BC
=15，
即（
OD
-
OA
）•（
OC
-
OB
）=15；
∴
OD
•
OC
-
OD
•
OB
-
OA
•
OC
+
OA
•
OB
=15，
∴
OC
•
OD
+
OA
•
OB
=15+
OD
•
OB
+
OA
•
OC
，
∴
AC
•
BD
=（
OC
-
OA
）•（
OD
-
OB
）=
OC
•
OD
-
OC
•
OB
-
OA
•
OD
+
OA
•
OB

=（15+
OD
•
OB
+
OA
•
OC
）-
OC
•
OB
-
OA
•
OD

=15+
OD
•（
OB
-
OA
）+
OC
•（
OA
-
OB
）
=15+
OD
•
AB
+
OC
•
BA

=15+
AB
•（
OD
-
OC
）
=15+
AB
•
CD

=15-
AB
•
DC

=15-2
=13．
故答案为：13．
点评：本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是中档题．
练习册系列答案
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．
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．
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π
3
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．
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A、
6
4
B、
3
4
C、
3
2
D、
6
2
计算：sin4
π
4
-cos2
π
2
+6tan3
π
4
=
 
．

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