Question

1．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45⁰的直线与双曲线的左支没有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是$1＜e≤\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图象，根据图象和条件列出不等式，再基本量的关系、离心率公式转化，求出离心率的范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得e的范围．

解答 解：由题意画出图象：
双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的渐近线方程：y=±$\frac{b}{a}$x
因为过点F且倾斜角为45⁰的直线与双曲线的左支没有公共点，
所以由图象可得，$\frac{b}{a}$≤tan45°=1，
则b≤a，即b²≤a²，
所以c²-a²≤a²，c²≤2a²，
则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}≤$2，即e$≤\sqrt{2}$，
所以此双曲线的离心率的取值范围是$1＜e≤\sqrt{2}$，
故答案为：$1＜e≤\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，涉及直线与双曲线的位置关系：需要与渐近线进行比较，在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1，考查数形结合思想，属于中档题．